在考研数学一的试卷中，压轴题往往是对考生综合能力的全面考验。以下是一道模拟的压轴题，旨在考察考生对高等数学、线性代数和概率论的综合运用能力：
题目：
设函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)，其中 \( a \) 为实数。已知 \( f(x) \) 在 \( x = a \) 处取得极值，且 \( f(a) = 0 \)。
（1）求 \( a \) 的值；
（2）若 \( f(x) \) 在 \( x = a \) 处的二阶导数 \( f''(a) \) 存在，证明：\( f''(a) < 0 \)；
（3）设 \( g(x) = \ln(x) \)，证明：对于任意 \( x > 0 \)，不等式 \( f(x) > g(x) \) 恒成立。
解答：
（1）首先，求 \( f(x) \) 的一阶导数 \( f'(x) \)：
\[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \]
令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = 1 \) 或 \( x = 3 \)。
由于 \( f(x) \) 在 \( x = a \) 处取得极值，且 \( f(a) = 0 \)，代入 \( f(x) \) 得：
\[ a^3 - 6a^2 + 9a = 0 \]
解得 \( a = 0 \)，\( a = 3 \) 或 \( a = 1 \)。
当 \( a = 0 \) 时，\( f''(0) = 6 > 0 \)，故 \( x = 0 \) 不是极值点；
当 \( a = 3 \) 时，\( f''(3) = -6 < 0 \)，故 \( x = 3 \) 是极大值点；
当 \( a = 1 \) 时，\( f''(1) = 0 \)，需要进一步判断，但由题意 \( f(a) = 0 \)，故 \( a = 1 \)。
（2）已知 \( f''(x) = 6x - 12 \)，代入 \( x = 1 \) 得 \( f''(1) = -6 < 0 \)，故 \( f''(a) < 0 \)。
（3）定义 \( h(x) = f(x) - g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - \ln(x) \)，求 \( h(x) \) 的一阶导数 \( h'(x) \)：
\[ h'(x) = 3x^2 - 12x + 9 - \frac{1}{x} \]
令 \( h'(x) = 0 \)，解得 \( x = 1 \) 或 \( x = 3 \)。
当 \( x = 1 \) 时，\( h''(1) = 6 > 0 \)，故 \( x = 1 \) 是极小值点；
当 \( x = 3 \) 时，\( h''(3) = -6 < 0 \)，故 \( x = 3 \) 是极大值点。
由于 \( h(x) \) 在 \( x = 1 \) 处取得极小值，且 \( h(1) = 1 > 0 \)，故 \( h(x) > 0 \) 对任意 \( x > 0 \) 恒成立，即 \( f(x) > g(x) \)。
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