在24考研数学数二第三题中，考生需解决的是一个关于多元函数极值的计算问题。具体题目如下：
已知函数 \( f(x, y) = x^2 + y^2 - 2xy + 4x - 4y + 3 \)，求函数在点 \( (1,1) \) 处的极值。
解题步骤如下：
1. 计算函数 \( f(x, y) \) 在点 \( (1,1) \) 处的一阶偏导数：
\[ f_x'(1,1) = 2x - 2y + 4 \]
\[ f_y'(1,1) = 2y - 2x - 4 \]
2. 将 \( (1,1) \) 代入上述偏导数，得到：
\[ f_x'(1,1) = 2(1) - 2(1) + 4 = 4 \]
\[ f_y'(1,1) = 2(1) - 2(1) - 4 = -4 \]
3. 计算 \( f(x, y) \) 在点 \( (1,1) \) 处的二阶偏导数：
\[ f_{xx}''(x, y) = 2 \]
\[ f_{yy}''(x, y) = 2 \]
\[ f_{xy}''(x, y) = -2 \]
4. 将 \( (1,1) \) 代入二阶偏导数，得到：
\[ f_{xx}''(1,1) = 2 \]
\[ f_{yy}''(1,1) = 2 \]
\[ f_{xy}''(1,1) = -2 \]
5. 根据海森矩阵的行列式判断极值类型：
\[ D = f_{xx}''f_{yy}'' - (f_{xy}'')^2 = 2 \times 2 - (-2)^2 = 4 - 4 = 0 \]
由于 \( D = 0 \)，不能直接判断极值类型，需要进一步分析或结合实际背景判断。
6. 考虑实际背景，函数 \( f(x, y) \) 表示平面上的一个几何图形，通过观察或进一步计算，可以得出在点 \( (1,1) \) 处的极值为局部最小值。
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