考研数学第一单元考试卷
一、选择题（每题5分，共25分）
1. 设函数f(x) = x^3 - 3x + 2，则f(x)的零点个数是：
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
2. 下列矩阵中，为满秩矩阵的是：
A. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)
B. \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)
C. \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)
D. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\)
3. 若\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)的值为：
A. 0 B. 1 C. \(\frac{1}{2}\) D. 不存在
4. 设\( A \)为3阶矩阵，\( \lambda \)为\( A \)的特征值，则\( A^3 \)的特征值是：
A. \( \lambda^3 \) B. \( \lambda^2 \) C. \( \lambda \) D. 以上都不对
5. 已知函数\( f(x) \)在区间[0,1]上连续，则\( \int_0^1 f(x) \, dx \)等于：
A. \( f(0) \) B. \( f(1) \) C. \( f(0) + f(1) \) D. 不确定
二、填空题（每题5分，共25分）
6. \( \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^2} \)的值为______。
7. 矩阵\( \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \)的行列式为______。
8. 函数\( f(x) = e^x \sin x \)的导数\( f'(x) \)为______。
9. 设\( A \)为3阶矩阵，\( \lambda \)为\( A \)的特征值，若\( A^2 \)的特征值为\( \lambda^2 \)，则\( A \)的特征值为______。
10. 函数\( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)的极值点为______。
三、解答题（每题20分，共60分）
11. 求极限：\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x - 3x}{x^3} \)。
12. 设\( A \)为3阶矩阵，\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \)，求\( A \)的逆矩阵\( A^{-1} \)。
13. 设函数\( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，求\( f(x) \)的导数\( f'(x) \)。
14. 设\( A \)为3阶矩阵，\( A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \)，求\( A \)的特征值和特征向量。
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