在深入理解考研数学二的基础上，以下是一道精心设计的专项训练题：
题目： 设函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + a \)，其中 \( a \) 为常数。若函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处取得极值，求 \( a \) 的值。
解题思路：
1. 求导数 \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)。
2. 令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = 1 \) 或 \( x = 3 \)。
3. 检查 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 是否为极值点。
4. 代入 \( x = 1 \) 到原函数 \( f(x) \) 中，求解 \( a \)。
解答：
1. 求导数 \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)。
2. 解方程 \( 3x^2 - 12x + 9 = 0 \)，得 \( x = 1 \) 或 \( x = 3 \)。
3. 由于 \( f''(x) = 6x - 12 \)，代入 \( x = 1 \) 得 \( f''(1) = -6 \)，说明 \( x = 1 \) 是极大值点；代入 \( x = 3 \) 得 \( f''(3) = 6 \)，说明 \( x = 3 \) 是极小值点。
4. 代入 \( x = 1 \) 到原函数 \( f(x) \) 中，得 \( f(1) = 1^3 - 6 \times 1^2 + 9 \times 1 + a = 4 + a \)。
5. 因为 \( x = 1 \) 是极大值点，所以 \( f(1) = 4 + a \) 应为最大值。由于 \( f(x) \) 为三次函数，极大值点 \( x = 1 \) 时，函数值应为正无穷，故 \( 4 + a \) 必须等于正无穷。但实际情况下，函数在 \( x = 1 \) 处取得极大值，因此 \( a \) 必须为负无穷，这与题目条件矛盾。
综上，题目存在逻辑错误，无法求出 \( a \) 的具体值。
【考研刷题通】——您的考研刷题小程序，覆盖政治、英语、数学等全部考研科目，助您高效备战！立即加入，开启高效刷题之旅！📚📈💪