例题：已知函数 \( f(x) = x^2 - 2x + 1 \) 在区间 \([1, 3]\) 上的图像，求该函数图像在此区间内的弧长。
解析：
首先，我们需要计算函数 \( f(x) \) 在区间 \([1, 3]\) 上的弧长。弧长的计算公式为：
\[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx \]
其中，\( f'(x) \) 是函数 \( f(x) \) 的导数。
对于函数 \( f(x) = x^2 - 2x + 1 \)，我们先求导数：
\[ f'(x) = 2x - 2 \]
将 \( f'(x) \) 代入弧长公式中，得到：
\[ L = \int_{1}^{3} \sqrt{1 + (2x - 2)^2} \, dx \]
接下来，我们需要计算这个定积分。这个积分可以通过数值方法或者查表来解决，但为了简化计算，我们可以使用三角代换来简化根号内的表达式。设 \( 2x - 2 = \tan \theta \)，则 \( dx = \frac{1}{2} \sec^2 \theta \, d\theta \)，并且当 \( x = 1 \) 时，\( \theta = \frac{\pi}{4} \)；当 \( x = 3 \) 时，\( \theta = \frac{\pi}{2} \)。
代入三角代换，得到：
\[ L = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 + \tan^2 \theta} \cdot \frac{1}{2} \sec^2 \theta \, d\theta \]
由于 \( \sqrt{1 + \tan^2 \theta} = \sec \theta \)，积分变为：
\[ L = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \sec^3 \theta \, d\theta \]
这个积分可以通过分部积分法求解。令 \( u = \sec \theta \)，\( dv = \frac{1}{2} \sec^2 \theta \, d\theta \)，则 \( du = \sec \theta \tan \theta \, d\theta \)，\( v = \frac{1}{2} \tan \theta \)。
积分结果为：
\[ L = \left[ \frac{1}{2} \sec \theta \tan \theta \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} - \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \tan^2 \theta \, d\theta \]
由于 \( \sec \theta \) 在 \( \theta = \frac{\pi}{2} \) 时不存在，我们需要调整积分上下限，或者使用极限来处理。但在这个例子中，我们可以直接计算得到：
\[ L = \left[ \frac{1}{2} \sec \theta \tan \theta \right]_{1}^{0} - \frac{1}{2} \int_{1}^{0} \tan^2 \theta \, d\theta \]
\[ L = 0 - \frac{1}{2} \left[ \tan^2 \theta \right]_{1}^{0} \]
\[ L = -\frac{1}{2} \left[ 0 - 1 \right] \]
\[ L = \frac{1}{2} \]
因此，函数 \( f(x) = x^2 - 2x + 1 \) 在区间 \([1, 3]\) 上的弧长为 \( \frac{1}{2} \)。
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