在2002年考研数学二中，第15题如下：
已知函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1 \)，求 \( f(x) \) 在区间 \([-1, 2]\) 上的最大值和最小值。
解答：
首先，对函数 \( f(x) \) 求导得到 \( f'(x) = 3x^2 - 6x + 4 \)。
接着，令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{3} \)。
然后，计算 \( f(x) \) 在 \( x = -1, \frac{2 - \sqrt{2}}{3}, \frac{2 + \sqrt{2}}{3}, 2 \) 处的函数值。
经计算可得：
\( f(-1) = -1 \)
\( f\left(\frac{2 - \sqrt{2}}{3}\right) = \frac{5 - 2\sqrt{2}}{3} \)
\( f\left(\frac{2 + \sqrt{2}}{3}\right) = \frac{5 + 2\sqrt{2}}{3} \)
\( f(2) = 3 \)
综上所述，函数 \( f(x) \) 在区间 \([-1, 2]\) 上的最大值为 \( \frac{5 + 2\sqrt{2}}{3} \)，最小值为 -1。
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