在16年考研数学一的选择题中，第18题考察了多元函数微分学的应用。具体内容是：已知函数\( f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2 + 1} \)，其中\( x \)和\( y \)不等于0，求\( f \)在点\( (1, 1) \)处的偏导数。
解题步骤如下：
1. 首先求\( f \)关于\( x \)的偏导数，即\( \frac{\partial f}{\partial x} \)。根据商法则，有：
\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y(x^2 + y^2 + 1) - xy \cdot 2x}{(x^2 + y^2 + 1)^2} \]
2. 同理，求\( f \)关于\( y \)的偏导数，即\( \frac{\partial f}{\partial y} \)。根据商法则，有：
\[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x(x^2 + y^2 + 1) - xy \cdot 2y}{(x^2 + y^2 + 1)^2} \]
3. 将\( x = 1 \)和\( y = 1 \)代入上述两个偏导数公式中，得到：
\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1 \cdot 3 - 1 \cdot 2}{3^2} = \frac{1}{9} \]
\[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1 \cdot 3 - 1 \cdot 2}{3^2} = \frac{1}{9} \]
4. 因此，\( f \)在点\( (1, 1) \)处的偏导数分别为\( \frac{1}{9} \)和\( \frac{1}{9} \)。
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