在18年数学2考研中，一道颇具代表性的题目如下：
题目：设函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，证明存在实数$\alpha$，使得$f(\alpha)=0$，并求出$\alpha$的值。
解题过程：
首先，考虑函数$f(x)$在实数域上的性质。由罗尔定理知，若函数在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，则至少存在一点$c\in(a,b)$，使得$f'(c)=0$。
对于本题，取$a=0$，$b=2$，函数$f(x)$在闭区间$[0,2]$上连续，在开区间$(0,2)$内可导。计算$f(0)$和$f(2)$的值，有：
$f(0)=0^3-6\times0^2+9\times0+1=1$，
$f(2)=2^3-6\times2^2+9\times2+1=-1$。
因为$f(0)\neq f(2)$，根据罗尔定理，至少存在一点$\alpha\in(0,2)$，使得$f'(\alpha)=0$。
接下来，求$f'(x)$：
$f'(x)=3x^2-12x+9$。
令$f'(\alpha)=0$，解得：
$3\alpha^2-12\alpha+9=0$，
$\alpha^2-4\alpha+3=0$，
$(\alpha-1)(\alpha-3)=0$。
因此，$\alpha=1$或$\alpha=3$。
最后，验证$f(\alpha)$的值：
$f(1)=1^3-6\times1^2+9\times1+1=5$，
$f(3)=3^3-6\times3^2+9\times3+1=-1$。
因为$f(1)\neq0$，$f(3)\neq0$，所以$\alpha$的值为1或3。
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