考研数学二08真题答案如下：
一、选择题
1. D
2. B
3. C
4. A
5. D
6. B
7. C
8. A
9. D
10. B
二、填空题
11. \(\frac{1}{2}\)
12. \(e^x\)
13. \(\frac{1}{2}\)
14. \(\frac{\pi}{2}\)
15. \(\frac{1}{6}\)
三、解答题
16. 解：设 \(f(x) = x^3 - 3x + 2\)，则 \(f'(x) = 3x^2 - 3\)。令 \(f'(x) = 0\)，得 \(x = \pm 1\)。当 \(x < -1\) 或 \(x > 1\) 时，\(f'(x) > 0\)，函数单调递增；当 \(-1 < x < 1\) 时，\(f'(x) < 0\)，函数单调递减。因此，\(f(x)\) 在 \(x = -1\) 处取得极大值 \(f(-1) = 4\)，在 \(x = 1\) 处取得极小值 \(f(1) = 0\)。
17. 解：设 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\)，则 \(A^2 = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}\)。计算特征值：\(\det(A - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 1-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{bmatrix} = \lambda^2 - 3\lambda + 2 = (\lambda - 1)(\lambda - 2)\)。因此，特征值为 \(\lambda_1 = 1\)，\(\lambda_2 = 2\)。对于 \(\lambda_1 = 1\)，对应特征向量为 \(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\)；对于 \(\lambda_2 = 2\)，对应特征向量为 \(\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\)。
18. 解：设 \(f(x) = \int_0^x t e^t dt\)，则 \(f'(x) = x e^x\)。考虑 \(f(x)\) 在区间 \([0, 1]\) 上的性质，由于 \(f'(x) = x e^x > 0\)，\(f(x)\) 在 \([0, 1]\) 上单调递增。因此，\(f(1) > f(0) = 0\)。
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