考研数学题最后一题往往是一道综合题，它可能涉及多个知识点，要求考生具备较强的逻辑思维和计算能力。以下是一个可能的考研数学题最后一题的原创答案：
题目：设函数 \( f(x) = \frac{x^3 - 3x}{x^2 - 1} \)，求 \( f(x) \) 在 \( x=1 \) 处的左导数和右导数。
解答：
首先，我们计算 \( f(x) \) 在 \( x=1 \) 处的导数。由于 \( f(x) \) 在 \( x=1 \) 处不可导，我们需要分别计算左导数和右导数。
左导数 \( f'_-(1) \)：
\[
f'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{\frac{x^3 - 3x}{x^2 - 1} - 0}{x - 1}
\]
分子分母同时乘以 \( x+1 \) 得：
\[
f'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} \frac{(x^3 - 3x)(x+1)}{(x^2 - 1)(x+1)} = \lim_{x \to 1^-} \frac{x^4 - 2x^2 - 3x}{x^3 - x}
\]
化简后：
\[
f'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - 2 - 3/x}{x^2 - 1} = \frac{1 - 2 - 3}{1 - 1} = \text{不存在}
\]
右导数 \( f'_+(1) \)：
\[
f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{\frac{x^3 - 3x}{x^2 - 1} - 0}{x - 1}
\]
同样，分子分母同时乘以 \( x+1 \) 得：
\[
f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} \frac{(x^3 - 3x)(x+1)}{(x^2 - 1)(x+1)} = \lim_{x \to 1^+} \frac{x^4 - 2x^2 - 3x}{x^3 - x}
\]
化简后：
\[
f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 - 2 - 3/x}{x^2 - 1} = \frac{1 - 2 - 3}{1 - 1} = \text{不存在}
\]
因此，函数 \( f(x) \) 在 \( x=1 \) 处既无左导数也无右导数。
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