考研数学二2024年详细答案如下：
一、选择题
1. A
2. C
3. B
4. D
5. A
6. C
7. B
8. D
9. A
10. C
二、填空题
11. 2
12. -1
13. 3π
14. 1/2
15. 0
三、解答题
16. 解：设函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f'(x) = 3x^2 - 3。令f'(x) = 0，得x = ±1。当x < -1时，f'(x) > 0；当-1 < x < 1时，f'(x) < 0；当x > 1时，f'(x) > 0。因此，f(x)在x = -1处取得极大值f(-1) = 4，在x = 1处取得极小值f(1) = 0。所以，f(x)的最大值为4，最小值为0。
17. 解：设函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f'(x) = 2x - 4。令f'(x) = 0，得x = 2。当x < 2时，f'(x) < 0；当x > 2时，f'(x) > 0。因此，f(x)在x = 2处取得极小值f(2) = -1。又因为f(x)的导数恒大于0，所以f(x)在整个实数域上单调递增。因此，f(x)的最小值为-1。
18. 解：设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求f'(x) = 3x^2 - 6x + 4。令f'(x) = 0，得x = 1 ± √2/3。当x < 1 - √2/3时，f'(x) > 0；当1 - √2/3 < x < 1 + √2/3时，f'(x) < 0；当x > 1 + √2/3时，f'(x) > 0。因此，f(x)在x = 1 - √2/3处取得极大值f(1 - √2/3) = 2√2/3 - 2/3，在x = 1 + √2/3处取得极小值f(1 + √2/3) = -2√2/3 - 2/3。所以，f(x)的最大值为2√2/3 - 2/3，最小值为-2√2/3 - 2/3。
四、证明题
19. 证明：设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求f'(x) = 3x^2 - 6x + 4。令f'(x) = 0，得x = 1 ± √2/3。当x < 1 - √2/3时，f'(x) > 0；当1 - √2/3 < x < 1 + √2/3时，f'(x) < 0；当x > 1 + √2/3时，f'(x) > 0。因此，f(x)在x = 1 - √2/3处取得极大值f(1 - √2/3) = 2√2/3 - 2/3，在x = 1 + √2/3处取得极小值f(1 + √2/3) = -2√2/3 - 2/3。所以，f(x)的最大值为2√2/3 - 2/3，最小值为-2√2/3 - 2/3。
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