在2025年考研数学一第八题中，考生需要解决的是一道关于多元函数微分学的题目。题目内容如下：
已知函数 \( f(x, y) = x^2y + \ln(x^2 + y^2) \)，求在点 \( (1, 1) \) 处的切平面方程。
解题步骤如下：
1. 首先求出函数 \( f(x, y) \) 在点 \( (1, 1) \) 处的偏导数：
\[ f_x' = 2xy + \frac{2x}{x^2 + y^2} \]
\[ f_y' = x^2 + \frac{2y}{x^2 + y^2} \]
2. 将 \( x = 1 \) 和 \( y = 1 \) 代入上述偏导数中，得到：
\[ f_x'(1, 1) = 2 \times 1 \times 1 + \frac{2 \times 1}{1^2 + 1^2} = 2 + 1 = 3 \]
\[ f_y'(1, 1) = 1^2 + \frac{2 \times 1}{1^2 + 1^2} = 1 + 1 = 2 \]
3. 因此，在点 \( (1, 1) \) 处的切平面方程为：
\[ 3(x - 1) + 2(y - 1) = 0 \]
化简得：
\[ 3x + 2y - 5 = 0 \]
这样，我们就得到了在点 \( (1, 1) \) 处的切平面方程。
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