在高等数学考研辅导课中，掌握核心概念和公式至关重要。以下是一些典型题目的解答示例：
1. 不定积分：若函数 \( f(x) = \sqrt{1-x^2} \)，求 \( \int f(x) \, dx \)。
解答：利用三角换元法，设 \( x = \sin t \)，则 \( dx = \cos t \, dt \)。变换后，原式变为 \( \int \cos^2 t \, dt \)。利用半角公式，得到 \( \int \frac{1 + \cos 2t}{2} \, dt \)。积分后，得到 \( \frac{t}{2} + \frac{\sin 2t}{4} + C \)。回代 \( t = \arcsin x \)，最终答案为 \( \frac{\arcsin x}{2} + \frac{x\sqrt{1-x^2}}{2} + C \)。
2. 极限：求 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)。
解答：利用洛必达法则，分子分母同时求导，得到 \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1 \)。
3. 二重积分：计算 \( \iint_D x^2 \, d\sigma \)，其中 \( D \) 为 \( x^2 + y^2 \leq 1 \) 的圆域。
解答：采用极坐标变换，令 \( x = r\cos\theta \)，\( y = r\sin\theta \)，则 \( d\sigma = r \, dr \, d\theta \)。积分区域 \( D \) 变为 \( 0 \leq r \leq 1 \)，\( 0 \leq \theta \leq 2\pi \)。计算得到 \( \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^3 \cos^2\theta \, dr \, d\theta = \frac{\pi}{2} \)。
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