在23考研数学一的试卷中，第二题是一道典型的应用题，涉及到了高等数学中积分的应用。题目内容如下：
已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求曲线$y=f(x)$在区间$[1,3]$上与$x$轴所围成的面积$S$。
解答过程如下：
首先，我们需要找到函数$f(x)$在区间$[1,3]$上与$x$轴的交点。由于$f(x)$是一个三次函数，我们可以通过求解$f(x)=0$来找到这些交点。解得$x=1$和$x=2$。
接下来，我们需要计算函数$f(x)$在区间$[1,2]$和$[2,3]$上的定积分，以确定曲线与$x$轴所围成的面积。
对于区间$[1,2]$，$f(x)$的值始终大于0，因此面积$S_1$可以通过计算定积分$\int_1^2 f(x)dx$得到。
对于区间$[2,3]$，$f(x)$的值始终小于0，因此面积$S_2$可以通过计算定积分$\int_2^3 -f(x)dx$得到。
将两个面积相加，即可得到总面积$S$。
计算过程如下：
$S_1 = \int_1^2 (x^3-3x^2+4x)dx = \left[\frac{1}{4}x^4 - x^3 + 2x^2\right]_1^2 = \left(\frac{1}{4}\cdot2^4 - 2^3 + 2\cdot2^2\right) - \left(\frac{1}{4}\cdot1^4 - 1^3 + 2\cdot1^2\right) = 2$
$S_2 = \int_2^3 -(x^3-3x^2+4x)dx = \left[-\frac{1}{4}x^4 + x^3 - 2x^2\right]_2^3 = \left(-\frac{1}{4}\cdot3^4 + 3^3 - 2\cdot3^2\right) - \left(-\frac{1}{4}\cdot2^4 + 2^3 - 2\cdot2^2\right) = -\frac{5}{4}$
$S = S_1 + S_2 = 2 - \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$
所以，曲线$y=f(x)$在区间$[1,3]$上与$x$轴所围成的面积$S$为$\frac{3}{4}$。
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