数学考研试卷模拟题及答案如下：
模拟题一：
1. 设函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$，求$f(x)$的极值点。
答案：
首先求导数$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$，令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$或$x = 3$。
再求二阶导数$f''(x) = 6x - 12$，代入$x = 1$得$f''(1) = -6$，说明$x = 1$是极大值点；代入$x = 3$得$f''(3) = 6$，说明$x = 3$是极小值点。
2. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2^n - 1$，求$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{2^n}$。
答案：
$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n - 1}{2^n} = \lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{2^n}) = 1$。
模拟题二：
1. 若矩阵$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求$A$的特征值和特征向量。
答案：
特征多项式$\det(A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 4-\lambda \end{bmatrix} = \lambda^2 - 5\lambda + 2 = (\lambda - 1)(\lambda - 2)$，所以特征值为$\lambda_1 = 1$，$\lambda_2 = 2$。
对于$\lambda_1 = 1$，解方程组$(A - I)x = 0$，得特征向量$\alpha_1 = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}$；
对于$\lambda_2 = 2$，解方程组$(A - 2I)x = 0$，得特征向量$\alpha_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$。
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