面对2024年考研数学一的第19题，考生需熟练掌握高等数学的积分技巧。以下是对该题的原创解答：
题目：计算不定积分 $\int \frac{2x^3}{(1+x^2)^2}dx$。
解答过程如下：
1. 观察被积函数，发现分子为 $2x^3$，分母为 $(1+x^2)^2$，尝试凑微分。
2. 对分母进行微分，得 $(1+x^2)^2' = 2(1+x^2) \cdot 2x = 4x(1+x^2)$。
3. 将原积分转化为 $\int \frac{2x^3}{4x(1+x^2)}dx$。
4. 约分得 $\int \frac{x^2}{2(1+x^2)}dx$。
5. 再次观察被积函数，发现可以凑微分 $dx = d(1+x^2)$。
6. 替换得 $\int \frac{1}{2}d(1+x^2)$。
7. 积分得 $\frac{1}{2} \int d(1+x^2) = \frac{1}{2}(1+x^2) + C$。
最终答案为 $\frac{1}{2}(1+x^2) + C$。
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