2012年数学考研题三的解析如下：
一、选择题
1. 设函数 \( f(x) = x^3 - 3x \)，则 \( f(x) \) 的零点为：
A. \( x = 0 \)
B. \( x = \pm \sqrt{3} \)
C. \( x = 0, \pm \sqrt{3} \)
D. 无零点
【答案】C
解析：\( f'(x) = 3x^2 - 3 \)，令 \( f'(x) = 0 \)，得 \( x = \pm 1 \)。\( f''(x) = 6x \)，当 \( x = -1 \) 时，\( f''(-1) < 0 \)，故 \( x = -1 \) 为极大值点；当 \( x = 1 \) 时，\( f''(1) > 0 \)，故 \( x = 1 \) 为极小值点。又因为 \( f(0) = 0 \)，\( f(\sqrt{3}) = 0 \)，\( f(-\sqrt{3}) = 0 \)，所以 \( f(x) \) 的零点为 \( x = 0, \pm \sqrt{3} \)。
2. 设 \( A \) 为 \( n \) 阶方阵，且 \( A^2 = 0 \)，则 \( A \) 的秩为：
A. \( r(A) = 0 \)
B. \( r(A) = 1 \)
C. \( r(A) = n \)
D. \( r(A) \leq n - 1 \)
【答案】D
解析：因为 \( A^2 = 0 \)，所以 \( A \) 的所有行（列）向量都是 \( 0 \) 向量的线性组合，故 \( r(A) \leq n - 1 \)。
3. 设 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，则 \( f(x) \) 的极值点为：
A. \( x = -1 \)
B. \( x = 1 \)
C. \( x = -1, 1 \)
D. 无极值点
【答案】C
解析：\( f'(x) = 3x^2 - 3 \)，令 \( f'(x) = 0 \)，得 \( x = \pm 1 \)。当 \( x = -1 \) 时，\( f(-1) = 4 \) 为极大值；当 \( x = 1 \) 时，\( f(1) = 0 \) 为极小值。因此，\( f(x) \) 的极值点为 \( x = -1, 1 \)。
二、填空题
1. 设 \( A \) 为 \( n \) 阶方阵，且 \( A^2 = A \)，则 \( A \) 的特征值为：
【答案】\( \lambda = 0, 1 \)
解析：因为 \( A^2 = A \)，所以 \( A(A - E) = 0 \)，故 \( A \) 的特征值为 \( \lambda = 0, 1 \)。
2. 设 \( f(x) = e^x - x \)，则 \( f(x) \) 的极值点为：
【答案】\( x = 0 \)
解析：\( f'(x) = e^x - 1 \)，令 \( f'(x) = 0 \)，得 \( x = 0 \)。当 \( x < 0 \) 时，\( f'(x) < 0 \)，当 \( x > 0 \) 时，\( f'(x) > 0 \)，故 \( x = 0 \) 为 \( f(x) \) 的极小值点。
三、解答题
1. 设 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，求 \( f(x) \) 的导数和二阶导数。
【答案】\( f'(x) = 3x^2 - 3 \)，\( f''(x) = 6x \)
解析：\( f'(x) = 3x^2 - 3 \)，\( f''(x) = 6x \)
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