北京大学考研数学题目通常以高难度和深度著称，以下是一道典型的北京大学考研数学题示例：
题目： 设函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1 \)，证明：存在唯一的实数 \( \alpha \)，使得 \( f'(\alpha) = 0 \)，并且 \( f(x) \) 在 \( (-\infty, \alpha) \) 上单调递减，在 \( (\alpha, +\infty) \) 上单调递增。
解答过程：
1. 首先求出函数 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) \)。
2. 根据罗尔定理，若 \( f(x) \) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，在开区间 \((a, b)\) 内可导，且 \( f(a) = f(b) \)，则至少存在一点 \( \xi \in (a, b) \)，使得 \( f'(\xi) = 0 \)。
3. 应用罗尔定理，我们可以证明存在 \( \alpha \) 满足 \( f'(\alpha) = 0 \)。
4. 通过分析导数的符号变化，可以确定 \( f(x) \) 的单调性。
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