在考研数学三中，定积分的应用是考试的重点之一。以下是对定积分应用的一个原创解答示例：
题目：已知函数 \( f(x) = x^2 \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) \) 在区间 \([0,1]\) 上连续，求 \( f(x) \) 在区间 \([0,1]\) 上的定积分 \( \int_0^1 x^2 \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) dx \)。
解答思路：
1. 首先，由于函数 \( f(x) \) 在区间 \([0,1]\) 上连续，我们可以直接应用定积分的定义进行计算。
2. 其次，考虑到 \(\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)\) 在 \( x=0 \) 处不连续，因此我们需要对积分区间进行适当的处理。我们可以通过在 \( x=0 \) 处加上一个无穷小的量 \(\epsilon\) 来处理这个问题，即计算 \(\int_0^{1+\epsilon} x^2 \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) dx\)，然后取极限 \(\epsilon \to 0^+\)。
3. 使用分部积分法，设 \( u = x^2 \)，\( dv = \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) dx \)，则 \( du = 2x dx \)，\( v = -\cos\left(\frac{\pi}{x}\right) \)。通过分部积分得到：
\[
\int x^2 \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) dx = -x^2 \cos\left(\frac{\pi}{x}\right) + 2 \int x \cos\left(\frac{\pi}{x}\right) dx
\]
4. 对 \( \int x \cos\left(\frac{\pi}{x}\right) dx \) 再次使用分部积分，最终得到：
\[
\int x^2 \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) dx = -x^2 \cos\left(\frac{\pi}{x}\right) + 2x \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) - 2\pi \int \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) dx
\]
5. 计算定积分，并取极限 \(\epsilon \to 0^+\)，得到最终结果。
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