在深入研究考研数学一模真题的基础上，以下是对各题的详细答案解析：
1. 选择题：通过分析题意，运用相关公式和定理，得出正确答案为D。
2. 填空题：结合题干信息，代入公式计算，填空答案为√2。
3. 解答题：
- 第一题：首先对函数进行求导，然后利用洛必达法则求解极限，最终答案为1/2。
- 第二题：运用矩阵运算和行列式的性质，得出答案为-1/3。
- 第三题：通过建立微分方程，求解通解和特解，最终答案为y = e^x + C。
4. 证明题：运用数学归纳法，从基础情况开始，逐步推导出结论，证明题目所给等式成立。
5. 应用题：结合实际问题，构建数学模型，通过求解方程组，得出答案。
【考研刷题通】——你的考研刷题小助手！覆盖政治、英语、数学等全部考研科目，海量真题、模拟题，助你高效备考，轻松应对考研挑战！立即加入，开启你的高效刷题之旅！【考研刷题通】