在考研数学二中，极限问题往往考验着考生的逻辑思维和计算能力。以下是一道经典的极限题目：
题目：求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x) - 3x}{x^3}$。
解题过程如下：
首先，观察分子中的 $\sin(3x)$，我们知道当 $x \to 0$ 时，$\sin(3x) \approx 3x$。因此，原极限可以转化为：
$$\lim_{x \to 0} \frac{3x - 3x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{0}{x^3} = 0.$$
然而，这个结果似乎过于简单，我们需要更深入地分析。注意到，当 $x \to 0$ 时，$\sin(3x)$ 的泰勒展开式为 $3x - \frac{(3x)^3}{6} + o(x^3)$。因此，原极限可以进一步转化为：
$$\lim_{x \to 0} \frac{3x - 3x + \frac{(3x)^3}{6} + o(x^3)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{27x^3}{6} + o(x^3)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{9x^3}{6x^3} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}.$$
综上，本题的答案为 $\frac{3}{2}$。
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