在解决考研数学四重积分问题时，以下是一个典型的解题步骤：
题目：计算由曲面 \(z = x^2 + y^2\) 与平面 \(z = 4\) 所围成的立体的体积。
解题步骤：
1. 确定积分区域：首先，观察曲面 \(z = x^2 + y^2\) 与平面 \(z = 4\) 的交线，可以发现这是一个半径为2的圆盘在 \(z = 4\) 平面上的投影。
2. 建立积分表达式：体积 \(V\) 可以通过三重积分来计算：
\[
V = \iiint\limits_D dz \, dx \, dy
\]
其中 \(D\) 是 \(z = x^2 + y^2\) 与 \(z = 4\) 所围成的区域。
3. 转换坐标系：为了简化积分，可以将直角坐标系转换为极坐标系。设 \(x = r\cos\theta\)，\(y = r\sin\theta\)，则 \(x^2 + y^2 = r^2\)，并且 \(dx \, dy = r \, dr \, d\theta\)。
4. 确定积分范围：在极坐标系中，\(r\) 的范围是从0到2，\(\theta\) 的范围是从0到 \(2\pi\)，\(z\) 的范围是从 \(x^2 + y^2\) 到4。
5. 计算积分：
\[
V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_{r^2}^4 r \, dz \, dr \, d\theta
\]
计算内层积分：
\[
\int_{r^2}^4 dz = 4 - r^2
\]
然后计算中间层积分：
\[
\int_0^2 (4 - r^2) r \, dr = \int_0^2 (4r - r^3) \, dr = [2r^2 - \frac{r^4}{4}]_0^2 = 8 - 4 = 4
\]
最后计算外层积分：
\[
V = 4 \int_0^{2\pi} d\theta = 4 \times 2\pi = 8\pi
\]
因此，所求立体的体积为 \(8\pi\)。
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