在安大考研数学系的历年试题中，我们可以看到一系列极具挑战性的题目。这些题目不仅考察了考生对数学知识的掌握程度，还考验了他们的解题技巧和思维能力。以下是对其中一道典型题目的详细讲解：
题目：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求$f(x)$在区间$[0,1]$上的最大值和最小值。
解题思路：
1. 首先求出$f(x)$的导数$f'(x)$；
2. 然后令$f'(x)=0$，求出$f(x)$的驻点；
3. 比较驻点处的函数值以及区间端点处的函数值，找出最大值和最小值。
具体步骤如下：
1. 求导：$f'(x)=3x^2-6x+4$；
2. 求驻点：令$f'(x)=0$，得$x_1=1$，$x_2=\frac{2}{3}$；
3. 比较函数值：$f(0)=1$，$f(1)=3$，$f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{19}{27}$。
综上所述，$f(x)$在区间$[0,1]$上的最大值为3，最小值为$\frac{19}{27}$。
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