考研数学一题带答案

关键词：考研数学一题带答案

解题过程：

题目：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求函数的极值点。

解答：

首先，求函数的导数$f'(x)$：
$$f'(x)=3x^2-6x+4$$

令$f'(x)=0$，解得：
$$3x^2-6x+4=0$$
$$x^2-2x+\frac{4}{3}=0$$
$$x_1=1-\frac{\sqrt{3}}{3}, x_2=1+\frac{\sqrt{3}}{3}$$

接下来，判断这两个点的极值性质。为了判断极值性质，我们可以观察导数的符号变化。

当$x<1-\frac{\sqrt{3}}{3}$时，$f'(x)>0$，说明函数在$x<1-\frac{\sqrt{3}}{3}$的区间内单调递增。

当$1-\frac{\sqrt{3}}{3}

当$x>1+\frac{\sqrt{3}}{3}$时，$f'(x)>0$，说明函数在$x>1+\frac{\sqrt{3}}{3}$的区间内单调递增。

因此，$x_1=1-\frac{\sqrt{3}}{3}$是函数的极大值点，$x_2=1+\frac{\sqrt{3}}{3}$是函数的极小值点。

求极值：
$$f(1-\frac{\sqrt{3}}{3})=(1-\frac{\sqrt{3}}{3})^3-3(1-\frac{\sqrt{3}}{3})^2+4(1-\frac{\sqrt{3}}{3})+1=\frac{8}{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}$$
$$f(1+\frac{\sqrt{3}}{3})=(1+\frac{\sqrt{3}}{3})^3-3(1+\frac{\sqrt{3}}{3})^2+4(1+\frac{\sqrt{3}}{3})+1=\frac{8}{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}$$

所以，函数的极大值为$\frac{8}{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}$，极小值为$\frac{8}{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}$。

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