在考研数学二中，证明题通常考察考生对数学概念、定理的深刻理解以及逻辑推理能力。以下是一道原创的考研数学二证明题示例：
证明题：
设函数 \( f(x) = x^3 - 6x + 9 \)，证明存在唯一的 \( x_0 \in (1, 2) \)，使得 \( f(x_0) = 0 \)。
解题步骤：
1. 首先观察函数 \( f(x) \) 在区间 [1, 2] 上的行为。计算 \( f(1) \) 和 \( f(2) \) 的值，发现 \( f(1) = 4 \) 和 \( f(2) = 1 \)，因此 \( f(1) > 0 \) 且 \( f(2) < 0 \)。
2. 根据零点定理，如果一个连续函数在某区间的两端取值异号，则在该区间内至少存在一点 \( c \)，使得 \( f(c) = 0 \)。
3. 接下来，证明 \( f(x) \) 在区间 (1, 2) 上是连续的，并且证明 \( f(x) \) 在该区间内只有一个零点。
4. 使用罗尔定理，证明 \( f'(x) = 3x^2 - 6 \) 在 (1, 2) 内存在唯一的零点，从而 \( f(x) \) 在 (1, 2) 内只有一个零点。
5. 综合上述，得出结论：存在唯一的 \( x_0 \in (1, 2) \)，使得 \( f(x_0) = 0 \)。
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