在考研数学二中的线压轴题，往往是对考生综合运用知识、逻辑推理能力以及解题技巧的全面考验。这类题目通常涉及高等数学、线性代数和概率论等多个领域，以下是一道典型的线压轴题：
题目：设 \( A \) 为 \( n \) 阶实对称矩阵，证明存在正交矩阵 \( P \)，使得 \( P^{-1}AP = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n) \)，其中 \( \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n \) 为 \( A \) 的特征值。
解题思路：首先，由于 \( A \) 是实对称矩阵，根据谱定理，\( A \) 可对角化。接下来，利用特征值和特征向量的性质，结合正交矩阵的性质，构造合适的正交矩阵 \( P \)。
解答过程如下（此处省略详细步骤，具体解析可参考相关教材或辅导书）：
1. 由于 \( A \) 是实对称矩阵，故 \( A \) 的特征值均为实数。
2. 对于每个特征值 \( \lambda_i \)，存在非零向量 \( x_i \) 使得 \( Ax_i = \lambda_i x_i \)。
3. 通过线性组合 \( x_i \) 的方式构造正交基 \( \{x_1, x_2, ..., x_n\} \)。
4. 定义正交矩阵 \( P \)，使得 \( P \) 的列向量即为 \( \{x_1, x_2, ..., x_n\} \)。
5. 验证 \( P^{-1}AP = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n) \)。
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