在南昌大学考研数学备考中，以下是一道典型的练习题：
题目：设函数 \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \)，求 \( f'(x) \)。
解答过程：
1. 首先识别出 \( f(x) \) 是一个复合函数，其中外函数 \( g(u) = \frac{1}{u} \)，内函数 \( u = x^2 + 1 \)。
2. 根据链式法则，\( f'(x) = g'(u) \cdot u'(x) \)。
3. 计算 \( g'(u) \)，因为 \( g(u) = \frac{1}{u} \)，所以 \( g'(u) = -\frac{1}{u^2} \)。
4. 计算 \( u'(x) \)，因为 \( u = x^2 + 1 \)，所以 \( u'(x) = 2x \)。
5. 将 \( g'(u) \) 和 \( u'(x) \) 代入 \( f'(x) \) 的公式中，得到 \( f'(x) = -\frac{1}{(x^2 + 1)^2} \cdot 2x \)。
6. 化简得 \( f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \)。
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