高等数学考研真题及解析是考研学子们备考过程中不可或缺的复习资料。以下是对几道典型真题的解析：
1. 解析题：已知函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 在区间 [1, 2] 上连续，求 \( \int_1^2 f(x) \, dx \) 的值。
解答：由于 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 在区间 [1, 2] 上连续，根据定积分的定义，我们可以直接计算：
\[
\int_1^2 \frac{1}{x} \, dx = \ln x \Big|_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2
\]
所以，积分的值为 \( \ln 2 \)。
2. 选择题：若 \( f'(x) = 2x + 1 \)，则 \( f(x) \) 的表达式为：
解答：对 \( f'(x) = 2x + 1 \) 进行不定积分，得到：
\[
f(x) = \int (2x + 1) \, dx = x^2 + x + C
\]
其中 \( C \) 为积分常数。因此，\( f(x) \) 的表达式为 \( x^2 + x + C \)。
3. 证明题：证明：若 \( f(x) \) 在闭区间 [a, b] 上连续，且 \( f(a) = f(b) \)，则存在 \( \xi \in (a, b) \)，使得 \( f'(\xi) = 0 \)。
解答：根据罗尔定理，如果函数 \( f(x) \) 在闭区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 内可导，且 \( f(a) = f(b) \)，则存在至少一点 \( \xi \in (a, b) \)，使得 \( f'(\xi) = 0 \)。因此，该命题成立。
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