题目：已知函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x \)，求 \( f(x) \) 在区间 \([1, 2]\) 上的最大值和最小值。
解答过程：
1. 求导数：\( f'(x) = 3x^2 - 6x + 4 \)。
2. 求导数的零点：令 \( f'(x) = 0 \)，得 \( 3x^2 - 6x + 4 = 0 \)。解得 \( x = 1 \) 或 \( x = \frac{2}{3} \)。
3. 分析 \( f'(x) \) 的符号：当 \( x < \frac{2}{3} \) 时，\( f'(x) > 0 \)；当 \( \frac{2}{3} < x < 1 \) 时，\( f'(x) < 0 \)；当 \( x > 1 \) 时，\( f'(x) > 0 \)。
4. 根据导数的符号，可以得出 \( f(x) \) 在 \( x = \frac{2}{3} \) 处取得局部最大值，在 \( x = 1 \) 处取得局部最小值。
5. 计算 \( f(x) \) 在 \( x = \frac{2}{3} \) 和 \( x = 1 \) 处的函数值：\( f\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^3 - 3\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 4\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{8}{27} \)，\( f(1) = 1^3 - 3 \times 1^2 + 4 \times 1 = 2 \)。
6. 计算 \( f(x) \) 在区间端点 \( x = 1 \) 和 \( x = 2 \) 处的函数值：\( f(1) = 2 \)，\( f(2) = 2^3 - 3 \times 2^2 + 4 \times 2 = 2 \)。
综上所述，\( f(x) \) 在区间 \([1, 2]\) 上的最大值为 \( 2 \)，最小值为 \( 2 \)。
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