在工业机器人领域，考研数学题往往涉及高等数学、线性代数和概率论与数理统计等知识。以下是一道结合工业机器人背景的考研数学题：
题目：某工业机器人有3个关节，每个关节的转动角度范围是[0°, 180°]。假设关节1的转动角度服从均匀分布U(0, 90)，关节2的转动角度服从正态分布N(60, 20)，关节3的转动角度服从指数分布Exp(0.1)。求：
（1）机器人所有关节转动角度的联合概率密度函数；
（2）机器人关节转动角度的期望值和方差。
解答：
（1）由于三个关节的转动角度是相互独立的，所以它们的联合概率密度函数为各关节概率密度函数的乘积：
\[ f(x_1, x_2, x_3) = f_{X_1}(x_1) \cdot f_{X_2}(x_2) \cdot f_{X_3}(x_3) \]
其中，\( f_{X_1}(x_1) = \frac{1}{90} \)（当0≤x1≤90时），\( f_{X_2}(x_2) = \frac{1}{20\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x_2-60)^2}{40}} \)（当0≤x2≤180时），\( f_{X_3}(x_3) = \frac{1}{0.1}e^{-\frac{x_3}{0.1}} \)（当x3≥0时）。
（2）根据期望和方差的定义，可得：
\[ E(X_1) = \int_0^{90} x_1 \cdot \frac{1}{90} dx_1 = 45 \]
\[ E(X_2) = \int_0^{180} x_2 \cdot \frac{1}{20\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x_2-60)^2}{40}} dx_2 = 60 \]
\[ E(X_3) = \int_0^{\infty} x_3 \cdot \frac{1}{0.1}e^{-\frac{x_3}{0.1}} dx_3 = 10 \]
\[ D(X_1) = \int_0^{90} (x_1 - 45)^2 \cdot \frac{1}{90} dx_1 = 2025 \]
\[ D(X_2) = \int_0^{180} (x_2 - 60)^2 \cdot \frac{1}{20\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x_2-60)^2}{40}} dx_2 = 400 \]
\[ D(X_3) = \int_0^{\infty} (x_3 - 10)^2 \cdot \frac{1}{0.1}e^{-\frac{x_3}{0.1}} dx_3 = 100 \]
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