2019年考研数学题的解析如下：
一、选择题
1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x$，则$f'(1)$的值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：D
解析：对$f(x)$求导得$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，代入$x=1$得$f'(1) = 3 - 6 + 4 = 1$。
2. 若$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2}$的值为（ ）
A. 1
B. 0
C. -1
D. $\frac{1}{2}$
答案：A
解析：根据$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，可以得到$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$。
二、填空题
3. 设$f(x) = e^x + \sin x$，则$f'(0)$的值为____。
答案：2
解析：对$f(x)$求导得$f'(x) = e^x + \cos x$，代入$x=0$得$f'(0) = e^0 + \cos 0 = 1 + 1 = 2$。
三、解答题
4. 设$a > 0$，证明：$\ln a > \frac{2}{3}a - 1$。
证明：设$f(x) = \ln x - \frac{2}{3}x + 1$，对$f(x)$求导得$f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{2}{3}$。令$f'(x) = 0$，解得$x = \frac{3}{2}$。
当$x \in (0, \frac{3}{2})$时，$f'(x) > 0$，$f(x)$单调递增；当$x \in (\frac{3}{2}, +\infty)$时，$f'(x) < 0$，$f(x)$单调递减。
因此，$f(x)$在$x = \frac{3}{2}$时取得极大值，即最大值。所以，$f(x) \leq f(\frac{3}{2}) = \ln \frac{3}{2} - 1 < 0$。
又因为$a > 0$，所以$\ln a > \frac{2}{3}a - 1$。
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