在考研数学二中，线性代数部分是考察的重点之一。以下是一道典型的线性代数题目：
题目：设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
解答：首先，我们需要求出矩阵 \( A \) 的特征多项式，即求解方程 \( \det(A - \lambda I) = 0 \)，其中 \( I \) 是单位矩阵，\( \lambda \) 是特征值。
\[
\det(A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 4-\lambda \end{bmatrix} = (1-\lambda)(4-\lambda) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2 = 0
\]
解这个二次方程，我们得到特征值 \( \lambda_1 = -1 \) 和 \( \lambda_2 = 2 \)。
接下来，我们求对应的特征向量。对于 \( \lambda_1 = -1 \)，解方程组 \( (A + I)x = 0 \)：
\[
\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\]
得到特征向量 \( x_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
对于 \( \lambda_2 = 2 \)，解方程组 \( (A - 2I)x = 0 \)：
\[
\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\]
得到特征向量 \( x_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
这样，我们就求出了矩阵 \( A \) 的特征值和对应的特征向量。
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