题目：已知函数 \( f(x) = \frac{e^x}{1+x} \) 在区间 \([-1,1]\) 上的导数 \( f'(x) \) 的最小值。
解答：首先求出函数 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) \)。
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{e^x}{1+x}\right) = \frac{e^x(1+x) - e^x}{(1+x)^2} = \frac{e^x}{1+x} \]
接下来，为了找到 \( f'(x) \) 的最小值，需要求出 \( f'(x) \) 的零点。由于 \( e^x \) 总是正的，\( f'(x) \) 的符号完全由 \( \frac{1}{1+x} \) 决定。因此，\( f'(x) = 0 \) 时，\( 1+x = 0 \)，即 \( x = -1 \)。然而，\( x = -1 \) 是 \( f(x) \) 的分母，不能作为导数的零点。
接下来，检查区间端点 \( x = -1 \) 和 \( x = 1 \) 处的导数值。由于 \( f'(x) = \frac{e^x}{1+x} \) 在 \( x = -1 \) 和 \( x = 1 \) 时都是正的，并且 \( f'(x) \) 在 \( x = 1 \) 时取得正值，可以推断 \( f'(x) \) 在区间 \([-1,1]\) 上是单调递增的。
因此，\( f'(x) \) 在区间 \([-1,1]\) 上的最小值发生在 \( x = -1 \) 处，但由于 \( f'(x) \) 在 \( x = -1 \) 处无定义，最小值实际上是 \( f'(x) \) 在 \( x \) 接近 \(-1\) 时的极限。
\[ \lim_{{x \to -1}} f'(x) = \lim_{{x \to -1}} \frac{e^x}{1+x} = \frac{e^{-1}}{0} = \infty \]
显然，这是一个错误，因为 \( e^{-1} \) 是一个有限的正数。因此，我们需要重新审视 \( f'(x) \) 的表达式和 \( f(x) \) 在 \( x = -1 \) 处的行为。
实际上，由于 \( f(x) \) 在 \( x = -1 \) 处连续，\( f'(x) \) 在 \( x = -1 \) 处的极限应该等于 \( f'(x) \) 在 \( x = -1 \) 处的导数。因此，我们需要检查 \( f'(x) \) 在 \( x = -1 \) 处的导数。
\[ f''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{e^x}{1+x}\right) = \frac{e^x(1+x) - e^x(1)}{(1+x)^2} = \frac{e^x}{(1+x)^2} \]
在 \( x = -1 \) 处，\( f''(x) = \frac{e^{-1}}{0} = \infty \)，这表明 \( f'(x) \) 在 \( x = -1 \) 处有一个极值。由于 \( f'(x) \) 在 \( x = -1 \) 处的极限是 \( \infty \)，而 \( f'(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的值是 \( \frac{e}{2} \)，可以推断 \( f'(x) \) 的最小值在 \( x = 1 \) 处。
因此，\( f'(x) \) 在区间 \([-1,1]\) 上的最小值是 \( \frac{e}{2} \)。
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