第八题：已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，求$f(x)$在区间$[0,1]$上的最大值和最小值。
解答：
首先求出$f(x)$的导数：
$$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4.$$
令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$或$x = \frac{2}{3}$。
对$x$的取值进行分类讨论：
（1）当$x \in [0, \frac{2}{3})$时，$f'(x) > 0$，所以$f(x)$在此区间上单调递增。
（2）当$x \in (\frac{2}{3}, 1]$时，$f'(x) < 0$，所以$f(x)$在此区间上单调递减。
因此，$x = \frac{2}{3}$是$f(x)$在区间$[0,1]$上的极大值点，$x = 1$是$f(x)$在区间$[0,1]$上的极小值点。
计算$f(\frac{2}{3})$和$f(1)$：
$$f(\frac{2}{3}) = \left(\frac{2}{3}\right)^3 - 3\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 4\left(\frac{2}{3}\right) + 1 = \frac{2}{27},$$
$$f(1) = 1^3 - 3\cdot1^2 + 4\cdot1 + 1 = 3.$$
综上，$f(x)$在区间$[0,1]$上的最大值为$3$，最小值为$\frac{2}{27}$。
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