23考研数学二第15题：设函数$f(x)=\frac{x^3-6x^2+9x}{x^2-3}$，求函数$f(x)$的极值点。
【解题过程】
首先，我们要求出函数$f(x)$的导数$f'(x)$，以便分析其极值点。
$f(x)=\frac{x^3-6x^2+9x}{x^2-3}$
运用除法求导法则，得：
$f'(x)=\frac{(x^3-6x^2+9x)'(x^2-3)-(x^3-6x^2+9x)(x^2-3)'}{(x^2-3)^2}$
化简得：
$f'(x)=\frac{3x^2-12x+9}{(x^2-3)^2}$
为了求出$f(x)$的极值点，我们需要解方程$f'(x)=0$。
$3x^2-12x+9=0$
这是一个一元二次方程，我们可以使用配方法或者公式求解。
通过配方，得：
$3(x^2-4x+3)=0$
$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=3$
接下来，我们需要检验这两个解是否为极值点。
由于$x_1=1$，$x_2=3$是函数的定义域内的点，我们只需考虑这两个点处的函数值。
当$x=1$时，$f(x)=\frac{1^3-6\times1^2+9\times1}{1^2-3}=-3$；
当$x=3$时，$f(x)=\frac{3^3-6\times3^2+9\times3}{3^2-3}=0$。
因此，函数$f(x)$在$x=1$处取得极小值，在$x=3$处取得极大值。
【结论】
本题考查了函数的极值点，解题关键在于求出函数的导数，并通过导数等于零的点来判断极值点。
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