08年考研数学四真题解析如下：
一、选择题（共10题，每题5分，共50分）
1. 若函数$f(x)=x^3-3x+2$在$x=1$处可导，则$f'(1)=\text{（ ）}$
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
解析：由导数的定义可得$f'(1)=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^3-3x+2-2}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^3-3x}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}(x^2-3)=1-3=-2$，故选A。
2. 设$a>0$，则$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ax-\sin x}{x^3}=\text{（ ）}$
A. $a$ B. $a^2$ C. $\frac{a}{2}$ D. $\frac{a^2}{2}$
解析：利用等价无穷小替换，$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ax-\sin x}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ax-\frac{1}{2}x^3}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ax}{x^3}-\frac{1}{2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{a}{x^2}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$，故选C。
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二、填空题（共10题，每题5分，共50分）
3. 设$f(x)=\ln x$，则$f'(x)=\text{（ ）}$
解析：$f'(x)=\frac{1}{x}$，故答案为$\frac{1}{x}$。
4. 设$f(x)=x^2+2x+1$，则$f(-1)=\text{（ ）}$
解析：$f(-1)=(-1)^2+2(-1)+1=0$，故答案为0。
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三、解答题（共5题，每题20分，共100分）
5. 求极限$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-\sin 2x}{x^3}$
解析：利用等价无穷小替换，$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-\sin 2x}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x-\frac{1}{2}x^3}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2}{x^2}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$。
6. 求函数$f(x)=x^3-3x+2$的导数$f'(x)$
解析：$f'(x)=3x^2-3$。
7. 求函数$f(x)=\ln x$的导数$f'(x)$
解析：$f'(x)=\frac{1}{x}$。
8. 求函数$f(x)=x^2+2x+1$在$x=-1$处的导数$f'(-1)$
解析：$f'(-1)=2(-1)+2=0$。
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