在深入解析了往届考研数学一真题后，以下是对其中一道典型题目的原创答案：
【题目】设函数$f(x) = \frac{1}{x^2-1}$，求$f(x)$的导数$f'(x)$。
【答案】首先，我们识别出函数$f(x)$为复合函数，其中内函数为$u = x^2 - 1$，外函数为$v(u) = \frac{1}{u}$。根据链式法则，我们有：
\[ f'(x) = v'(u) \cdot u'(x) \]
接下来，求$v(u) = \frac{1}{u}$的导数$v'(u)$。使用幂函数求导法则，我们得到：
\[ v'(u) = -\frac{1}{u^2} \]
然后，求内函数$u = x^2 - 1$的导数$u'(x)$。应用幂函数求导法则，我们得到：
\[ u'(x) = 2x \]
将$v'(u)$和$u'(x)$代入链式法则，我们得到：
\[ f'(x) = -\frac{1}{(x^2-1)^2} \cdot 2x = -\frac{2x}{(x^2-1)^2} \]
因此，函数$f(x) = \frac{1}{x^2-1}$的导数$f'(x)$为$-\frac{2x}{(x^2-1)^2}$。
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