考研数学真题和答案解析是备考过程中不可或缺的复习材料。以下是对几道典型考研数学真题的详细解析：
1. 解析题：
- 题目：设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，求$f(x)$在区间$[0,2]$上的最大值和最小值。
- 解析：首先求导得$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，令$f'(x) = 0$解得$x=1$和$x=\frac{2}{3}$。计算$f(1) = 1$，$f(\frac{2}{3}) = \frac{1}{27}$，$f(2) = 1$。因此，$f(x)$在$x=1$处取得最大值1，在$x=\frac{2}{3}$处取得最小值$\frac{1}{27}$。
2. 选择题：
- 题目：若$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$的值为：
A. 1 B. 3 C. 9 D. 无穷大
- 解析：利用三角恒等变换，$\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$，所以$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{3\sin x - 4\sin^3 x}{x} = 3$。因此，答案为B。
3. 应用题：
- 题目：已知曲线$y = e^x$与直线$y = kx$相切，求$k$的值。
- 解析：设切点为$(x_0, y_0)$，则$y_0 = e^{x_0}$，且$e^{x_0} = kx_0$。又因为切线斜率$k = e^{x_0}$，所以$e^{x_0} = e^{x_0}$，解得$x_0 = 0$，$y_0 = 1$。因此，$k = e^{x_0} = 1$。
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