在2009年考研数学一的第20题中，考生面临的是一道关于多元函数微分学的难题。题目要求求出给定函数在指定点的梯度、方向导数以及极值点。解题过程如下：
首先，我们需要计算函数在点\( P(a, b) \)处的梯度。根据多元函数微分学的知识，梯度是由偏导数构成的向量，因此：
\[ \nabla f(P) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \]
接着，我们求出函数在该点的偏导数，然后计算梯度向量。
然后，为了求出函数在该点的方向导数，我们需要确定一个单位向量，这个向量与梯度向量方向一致。假设该向量为\( \mathbf{u} \)，则：
\[ \mathbf{u} = \frac{\nabla f(P)}{\|\nabla f(P)\|} \]
方向导数\( D_{\mathbf{u}}f(P) \)就是梯度向量与单位向量\( \mathbf{u} \)的点积：
\[ D_{\mathbf{u}}f(P) = \nabla f(P) \cdot \mathbf{u} \]
最后，为了找出极值点，我们需要检查梯度向量是否为零。如果\( \nabla f(P) = \mathbf{0} \)，那么点\( P \)可能是极值点。
通过上述步骤，考生可以解答出2009年考研数学一的第20题。为了更好地准备考研数学，建议使用【考研刷题通】微信小程序进行刷题练习。这里包含了政治、英语、数学等全部考研科目的刷题功能，帮助你巩固知识点，提高解题能力。【考研刷题通】，考研路上的得力助手！