在19年考研数学二中，一道极具挑战性的题目如下：
题目：已知函数 \( f(x) = \frac{x^3 - 3x^2 + 4x - 6}{x^2 - 2x + 2} \) 在 \( x=1 \) 处取得极值，求该极值点处的函数值。
解题过程：
首先，我们需要求出函数 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) \)。利用商的求导法则，我们得到：
\[ f'(x) = \frac{(3x^2 - 6x + 4)(x^2 - 2x + 2) - (x^3 - 3x^2 + 4x - 6)(2x - 2)}{(x^2 - 2x + 2)^2} \]
接着，我们将 \( x=1 \) 代入 \( f'(x) \) 中，得到：
\[ f'(1) = \frac{(3 - 6 + 4)(1 - 2 + 2) - (1 - 3 + 4 - 6)(2 - 2)}{(1 - 2 + 2)^2} = 0 \]
这说明 \( x=1 \) 是函数 \( f(x) \) 的一个驻点。为了确定这个驻点是极大值点还是极小值点，我们需要求出 \( f''(x) \) 并代入 \( x=1 \)。
\[ f''(x) = \frac{2(x^2 - 2x + 2)^2 - 4(3x^2 - 6x + 4)(x^2 - 2x + 2)(2x - 2)}{(x^2 - 2x + 2)^4} \]
代入 \( x=1 \)，得到：
\[ f''(1) = \frac{2(1 - 2 + 2)^2 - 4(3 - 6 + 4)(1 - 2 + 2)(2 - 2)}{(1 - 2 + 2)^4} = 2 \]
由于 \( f''(1) > 0 \)，所以 \( x=1 \) 是函数 \( f(x) \) 的极小值点。
最后，我们计算 \( f(1) \)：
\[ f(1) = \frac{1^3 - 3 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 - 6}{1^2 - 2 \cdot 1 + 2} = -1 \]
因此，函数 \( f(x) \) 在 \( x=1 \) 处的极小值为 -1。
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