题目：已知函数 \( f(x) = e^x - x^2 \)，求 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的泰勒展开式的前三项。
解答：
首先，我们需要计算 \( f(x) \) 及其前两阶导数在 \( x = 0 \) 处的值。
1. 函数值：\( f(0) = e^0 - 0^2 = 1 \)
2. 一阶导数：\( f'(x) = e^x - 2x \)，则 \( f'(0) = e^0 - 2 \times 0 = 1 \)
3. 二阶导数：\( f''(x) = e^x - 2 \)，则 \( f''(0) = e^0 - 2 = -1 \)
根据泰勒公式，函数 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的泰勒展开式的前三项为：
\[ f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 \]
\[ f(x) \approx 1 + 1 \cdot x + \frac{-1}{2}x^2 \]
\[ f(x) \approx 1 + x - \frac{1}{2}x^2 \]
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