考研数学二第十八题：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求$f(x)$在区间$[1,3]$上的最大值和最小值。
解题过程：
1. 求导数：$f'(x)=3x^2-6x+4$。
2. 求导数的零点：$3x^2-6x+4=0$，解得$x_1=1$，$x_2=\frac{2}{3}$。
3. 判断端点值：$f(1)=1^3-3\times1^2+4\times1=2$，$f(3)=3^3-3\times3^2+4\times3=6$。
4. 判断零点处的函数值：$f(\frac{2}{3})=\frac{2}{3}^3-3\times(\frac{2}{3})^2+4\times\frac{2}{3}=\frac{2}{27}-\frac{4}{9}+\frac{8}{3}=\frac{58}{27}$。
5. 综合比较：$f(1)=2$，$f(\frac{2}{3})=\frac{58}{27}$，$f(3)=6$。
所以，$f(x)$在区间$[1,3]$上的最大值为6，最小值为$\frac{58}{27}$。
【考研刷题通】微信考研刷题小程序，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助你高效刷题，备战考研！立即扫码加入，开启高效学习之旅！