题目：设函数 \( f(x) = \frac{x^3 - 3x}{x^2 - 1} \)，求 \( f'(x) \)。
解答过程：
首先，我们观察到函数 \( f(x) \) 是一个分式函数，因此我们可以通过商的求导法则来求导。商的求导法则为：
\[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]
其中 \( u = x^3 - 3x \) 和 \( v = x^2 - 1 \)。
接下来，我们分别对 \( u \) 和 \( v \) 求导：
\[ u' = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3 \]
\[ v' = (x^2 - 1)' = 2x \]
将这些导数代入商的求导法则中，我们得到：
\[ f'(x) = \frac{(3x^2 - 3)(x^2 - 1) - (x^3 - 3x)(2x)}{(x^2 - 1)^2} \]
接下来，我们对分子进行展开和化简：
\[ (3x^2 - 3)(x^2 - 1) - (x^3 - 3x)(2x) = 3x^4 - 3x^2 - 3x^2 + 3 - 2x^4 + 6x^2 \]
\[ = x^4 + 6x^2 + 3 \]
将这个结果代入 \( f'(x) \) 的表达式中，我们得到：
\[ f'(x) = \frac{x^4 + 6x^2 + 3}{(x^2 - 1)^2} \]
这就是函数 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) \)。
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