关键词：考研数学、每日一题、二十道
【每日一题】
1. 若函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 在区间 \([a, b]\) 上连续，求证：存在 \(\xi \in (a, b)\)，使得 \( f'(\xi) = \frac{b-a}{ab} \)。
2. 设 \( A \) 为 \( n \) 阶方阵，且 \( A^2 = 0 \)，证明 \( A \) 的特征值为 \( 0 \)。
3. 计算不定积分 \( \int \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1} \, dx \)。
4. 已知 \( y = x^3 - 3x \)，求 \( y' \)。
5. 设 \( f(x) = \ln(x+1) \)，求 \( f''(x) \)。
6. 求极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} \)。
7. 解微分方程 \( y' + y = e^x \)。
8. 设 \( f(x) = x^2 - 2x + 1 \)，求 \( f'(x) \)。
9. 求二重积分 \( \iint_D (x^2 + y^2) \, dA \)，其中 \( D \) 是由 \( x^2 + y^2 \leq 1 \) 所围成的圆盘。
10. 设 \( f(x) = e^x \sin x \)，求 \( f'(x) \)。
11. 解线性方程组 \( \begin{cases} 2x + 3y = 6 \\ 4x - y = 5 \end{cases} \)。
12. 求函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \) 的极值。
13. 计算定积分 \( \int_0^1 x^3 e^x \, dx \)。
14. 设 \( f(x) = \frac{1}{x} \)，求 \( f(x) \) 在 \( x=2 \) 处的泰勒展开式。
15. 求解微分方程 \( y'' - 2y' + y = 0 \)。
16. 设 \( f(x) = x^2 \sin x \)，求 \( f''(x) \)。
17. 解微分方程 \( y' = 2xy \)。
18. 求函数 \( f(x) = e^x \cos x \) 的导数。
19. 计算二重积分 \( \iint_D (x + y) \, dA \)，其中 \( D \) 是由 \( x^2 + y^2 \leq 4 \) 所围成的圆盘。
20. 设 \( f(x) = \ln(x+1) \)，求 \( f'(x) \)。
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