在19年考研数学一中，压轴题通常涉及高等数学、线性代数和概率论与数理统计三个部分的综合应用。以下是一道具有代表性的压轴题：
题目：
设函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \) 在区间 \([0,3]\) 上可导，且 \( f(0) = f(3) = 0 \)。求证：存在 \( \xi \in (0,3) \)，使得 \( f'(\xi) = 0 \)。
解题过程：
首先，由罗尔定理可知，若函数 \( f(x) \) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，在开区间 \((a,b)\) 内可导，且 \( f(a) = f(b) \)，则存在 \( \xi \in (a,b) \)，使得 \( f'(\xi) = 0 \)。
根据题目条件，\( f(x) \) 在区间 \([0,3]\) 上连续，在开区间 \((0,3)\) 内可导，且 \( f(0) = f(3) = 0 \)。因此，根据罗尔定理，存在 \( \xi \in (0,3) \)，使得 \( f'(\xi) = 0 \)。
接下来，计算 \( f'(x) \)：
\[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \]
令 \( f'(\xi) = 0 \)，得：
\[ 3\xi^2 - 12\xi + 9 = 0 \]
解这个一元二次方程，得：
\[ \xi = 1 \quad \text{或} \quad \xi = 3 \]
由于 \( \xi \) 必须在区间 \((0,3)\) 内，故 \( \xi = 1 \)。
因此，存在 \( \xi = 1 \in (0,3) \)，使得 \( f'(\xi) = 0 \)。
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