在2025年的考研数学一证明题中，考生可能会遇到以下类型的问题：
题目：设函数 \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \) 在区间 \([0, 1)\) 上连续，在区间 \((1, +\infty)\) 上可导，证明存在唯一的 \( \xi \in (1, +\infty) \) 使得 \( f'(\xi) = 2 \)。
证明：
1. 首先观察函数 \( f(x) \) 的连续性和可导性，由题意知 \( f(x) \) 在 \([0, 1)\) 上连续，在 \((1, +\infty)\) 上可导。
2. 由于 \( f(x) \) 在 \([0, 1)\) 上连续，故 \( f(0) \) 和 \( f(1) \) 存在，计算得 \( f(0) = 0 \) 和 \( f(1) = 1 \)。
3. 考虑函数 \( f(x) \) 的极限，当 \( x \to 1^+ \) 时，\( f(x) \to 2 \)。
4. 由罗尔定理，存在 \( \eta \in (0, 1) \) 使得 \( f'(\eta) = 0 \)。
5. 由于 \( f(x) \) 在 \((1, +\infty)\) 上可导，根据拉格朗日中值定理，存在 \( \xi \in (1, \eta) \) 使得 \( f'(\xi) = \frac{f(\eta) - f(1)}{\eta - 1} \)。
6. 由 \( f(\eta) = 0 \) 和 \( f(1) = 1 \)，得 \( f'(\xi) = \frac{0 - 1}{\eta - 1} = -1 \)。
7. 为了使 \( f'(\xi) = 2 \)，需要 \( -1 \) 变为 \( 2 \)，这意味着 \( \xi \) 必须在 \( \eta \) 的右侧。
8. 因此，存在唯一的 \( \xi \in (\eta, +\infty) \) 使得 \( f'(\xi) = 2 \)。
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