2003年考研数学三第6题，是一道极具挑战性的题目。该题深入考察了考生对高等数学知识的综合运用能力，涉及到了极限、导数、积分等多个知识点。通过分析题干，我们可以发现，解题关键在于对函数性质和极限运算的精准把握。在解答过程中，不仅要熟练运用相关公式，还要具备一定的逻辑推理能力。下面是对该题的详细解析：
题目解析：
给定函数f(x) = x^2sin(1/x)，当x→0时，求f(x)的极限。
解题步骤：
Step 1：观察函数f(x)在x=0时的行为，可以发现当x→0时，sin(1/x)在[-1,1]之间震荡，而x^2→0。因此，f(x)在x=0时的极限可能为0。
Step 2：根据极限的性质，我们可以尝试使用洛必达法则来求解。对f(x)求导得f'(x) = 2xsin(1/x) - cos(1/x)。
Step 3：再次观察f'(x)在x=0时的行为，可以发现当x→0时，2xsin(1/x)→0，而cos(1/x)在[-1,1]之间震荡。因此，f'(x)在x=0时的极限可能为0。
Step 4：应用洛必达法则，对f(x)和f'(x)同时求极限。由于f(x)和f'(x)在x=0时的极限都为0，我们可以继续使用洛必达法则。
Step 5：对f'(x)求导得f''(x) = 2sin(1/x) - 2xsin(1/x) + sin(1/x)。
Step 6：观察f''(x)在x=0时的行为，可以发现当x→0时，2sin(1/x)→0，而2xsin(1/x)→0，sin(1/x)在[-1,1]之间震荡。因此，f''(x)在x=0时的极限可能为0。
Step 7：再次应用洛必达法则，对f''(x)求极限。由于f''(x)在x=0时的极限为0，我们可以继续使用洛必达法则。
Step 8：对f''(x)求导得f'''(x) = 2cos(1/x) - 2cos(1/x) + cos(1/x)。
Step 9：观察f'''(x)在x=0时的行为，可以发现当x→0时，2cos(1/x)→2，而cos(1/x)在[-1,1]之间震荡。因此，f'''(x)在x=0时的极限为2。
最终答案：当x→0时，f(x)的极限为0。
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