在考研数学第二章中，基础题是构建扎实数学基础的关键。以下是一些典型的第二章基础题解析：
1. 极限概念与性质：考察对极限定义、性质的理解与应用。例如，求$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$。
解答：利用极限的基本性质，我们知道$\lim_{x \to 0} \sin x = 0$，$\lim_{x \to 0} x = 0$，所以$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{0}{0}$，这是一个未定式，我们可以用洛必达法则求解，得到$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。
2. 导数与微分：考察导数的定义、求导法则、微分等知识。例如，求函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$在$x=1$处的导数。
解答：根据导数的定义，我们有$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$。对于$f(x) = x^3 - 3x + 2$，求导得$f'(x) = 3x^2 - 3$。代入$x=1$，得到$f'(1) = 3 \times 1^2 - 3 = 0$。
3. 中值定理与导数的应用：考察对罗尔定理、拉格朗日中值定理的理解与应用。例如，证明函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$在区间$[0, 2]$上满足拉格朗日中值定理。
解答：首先，函数$f(x)$在闭区间$[0, 2]$上连续，在开区间$(0, 2)$内可导。根据拉格朗日中值定理，存在$\xi \in (0, 2)$，使得$f'(\xi) = \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0}$。计算$f(2) = 2^3 - 3 \times 2 + 2 = 2$，$f(0) = 0^3 - 3 \times 0 + 2 = 2$，所以$\frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = 0$。因此，存在$\xi \in (0, 2)$，使得$f'(\xi) = 0$。
通过以上解析，相信大家对考研数学第二章的基础题有了更深入的理解。为了更好地备战考研，推荐使用【考研刷题通】小程序，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助力你高效刷题，轻松备战！【考研刷题通】——你的考研刷题好帮手！