在2024考研数学数二中，第四题可能是一道涉及极限与导数的综合题目。假设题目如下：
题目： 已知函数 \( f(x) \) 在区间 \([0, +\infty)\) 上连续，且满足 \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \)，\( \lim_{x \to +\infty} f(x) = 2 \)，\( f'(x) \) 在 \((0, +\infty)\) 上存在。若 \( f(x) \) 在 \( x=1 \) 处可导，求 \( f'(1) \) 的值。
解题步骤：
1. 利用导数定义： 首先，根据导数的定义，我们需要计算 \( f'(1) \)。
2. 极限性质： 利用 \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \) 和 \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = 2 \)，我们可以推断 \( f(0) = 1 \) 和 \( f(+\infty) = 2 \)。
3. 连续性： 由于 \( f(x) \) 在 \([0, +\infty)\) 上连续，且 \( f(x) \) 在 \( x=1 \) 处可导，根据连续性和可导性的关系，我们知道 \( f(1) \) 一定存在。
4. 应用拉格朗日中值定理： 由于 \( f(x) \) 在 \([0, +\infty)\) 上连续，在 \((0, +\infty)\) 上可导，根据拉格朗日中值定理，存在 \( \xi \in (0, 1) \) 使得：
\[
f'(1) = f'(\xi) = \frac{f(1) - f(0)}{1 - 0}
\]
5. 求解 \( f'(1) \)： 根据已知条件 \( f(0) = 1 \) 和 \( f(+\infty) = 2 \)，我们可以假设 \( f(1) \) 也趋近于 2（因为 \( f(x) \) 在 \( x=1 \) 处可导，且 \( f(x) \) 在 \( x \to +\infty \) 时趋近于 2），从而得到 \( f'(1) = \frac{2 - 1}{1} = 1 \)。
答案： \( f'(1) = 1 \)
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