关键词：考研数学题，答题空间，原创，最佳答案
在考研数学的征途上，每一个答题空间都承载着梦想的重量。以下是一道原创的考研数学题，旨在挑战你的思维极限：
题目：设函数$f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2+2x+1$，求$f(x)$的极值。
解答：
首先，求$f(x)$的导数$f'(x)$：
$$f'(x) = x^2 - 2x + 2.$$
令$f'(x) = 0$，解得：
$$x^2 - 2x + 2 = 0.$$
使用求根公式，得：
$$x = 1 \pm \sqrt{1 - 2} = 1 \pm \sqrt{-1}.$$
由于方程无实数解，因此$f(x)$在实数域内无驻点。接下来，考虑$f(x)$的端点行为。
当$x \rightarrow \infty$时，$f(x) \rightarrow \infty$；
当$x \rightarrow -\infty$时，$f(x) \rightarrow -\infty$。
因此，$f(x)$在$x = 1$处取得极小值。计算$f(1)$：
$$f(1) = \frac{1^3}{3} - 1^2 + 2 \times 1 + 1 = \frac{1}{3} - 1 + 2 + 1 = \frac{5}{3}.$$
综上所述，$f(x)$在$x = 1$处取得极小值$\frac{5}{3}$。
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